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LTspice를 사용하여 복잡한 회로에 대한 통계학적 허용오차 분석 모델링하기 ①

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글/스티브 크누첸(Steve Knudtsen) FAE, 아나로그디바이스(Analog Devices, Inc.) 

LTspice®를 사용해서 복잡한 회로에 대한 통계학적 허용오차 분석을 할 수 있다. 이 글에서는 LTspice로 몬테 카를로 및 가우스 분포와 최악 상황 분석을 사용해서 허용오차 분석을 하는 기법에 대해 설명한다. 이를 위해 전압 레귤레이션 회로를 예로 들어서, LTspice로 회로를 모델링하고 몬테 카를로 및 가우스 분포를 적용하여 전압 레퍼런스와 피드백 저항을 변수로 해서 허용오차를 분석하는 것을 설명한다. 이 시뮬레이션 결과를 최악 상황 분석(WCA) 시뮬레이션과 비교한다. 글의 끝에 4개의 부록을 실었다. 부록 A에서는 전압 레퍼런스로 트리밍을 한 후의 분포에 대해서 살펴본다. 부록 B에서는 LTspice에 가우스 분포를 적용한 분석을 설명한다. 부록 C에서는 LTspice에 의해 생성된 몬테 카를로 분포의 그래픽 뷰를 보여준다. 부록 D에서는 LTspice 회로를 편집하고 시뮬레이트된 데이터를 추출하는 방법에 대해 설명한다.

이 글은 LTspice를 사용한 통계학적 분석에 관한 것으로서, 6-시그마 설계 원칙, 중심 극한 정리(central limit theorem), 몬테 카를0로 샘플링에 대해서는 다루지 않는다.

허용오차 분석

성공적인 시스템 설계를 위해서는 주어진 파라미터에 대한 허용오차 한계를 고려해야 한다. 이를 위해서 흔히 사용되는 방법이 최악 상황 분석(worst-case analysis: WCA)이다. 이 분석은 모든 파라미터들을 각각의 최대 허용오차 한계로 설정해서 분석을 실시하는 것이다. 최악 상황 분석을 실시해서 최악 상황 결과가 시스템 설계의 의도한 규격 범위 이내인지 여부를 판단할 수 있다. 하지만 WCA는 다음과 같은 애로점을 수반한다:

• WCA를 위해서는 진정으로 최악의 상황 결과를 얻기 위해 어떤 파라미터를 최대 또는 최소로 설정할 것인지 결정해야 한다.

• WCA의 결과가 의도한 설계 규격을 벗어나면 허용 가능한 결과를 달성하기 위해서 비싼 부품을 선택해야 한다.

• WCA 결과는 통계학상 정상적으로 관찰되는 결과가 아니다. 그러므로 시스템이 WCA 성능을 나타내는 것을 관찰하기 위해서는 테스트 용도로 매우 많은 수의 완성된 시스템이 필요할 수 있다.

이에 대한 대안이 될 수 있는 것이 통계학적 툴을 사용해서 부품 허용오차 분석을 하는 것이다. 통계학적 분석의 이점은 결과적인 데이터 분포를 검토함으로써 물리적 시스템에서 어떻게 측정될지 가늠할 수 있다는 것이다. 이 글에서는 LTspice에 몬테 카를로 분포와 가우스 분포를 적용해서 회로 성능을 시뮬레이션하는 것을 설명한다. 그리고 이것을 WCA 시뮬레이션과 비교해 본다.

앞서 WCA와 관련한 애로점들을 언급했으나, 그럼에도 불구하고 최악 상황 분석과 통계학적 분석 모두 저마다의 유용한 통찰을 제공한다. 가비노 알론소(Gabino Alonso)와 조셉 스페서(Joseph Spencer)가 작성한 튜토리얼인 ‘LTspice: 최소한의 시뮬레이션 실행으로 최악 상황 회로 분석’에서는 LTspice를 사용해서 WCA를 실시하는 것에 대해서 설명하고 있다.

몬테 카를로 분포

그림 1은 몬테 카를로 분포를 적용하여 LTspice로 모델링한 전압 레퍼런스를 보여준다. 이 전압 소스는 공칭 1.25V이고, 허용오차는 1.5%이다. 몬테 카를로 분포를 적용해서 이 1.5% 허용오차 범위 이내로 251개의 전압 값을 생성한다. 그림 2는 이 251개 값을 50개 바이너리(bins)로 히스토그램 표현한 것을 보여준다. 표 1은 이 분포에 대한 통계 요약이다.

[그림 1] 몬테 카를로 분포를 적용하여 LTspice로 모델링한 전압 소스 회로

[그림 2] 1.25V 레퍼런스에 대한 몬테 카를로 시뮬레이션을 히스토그램으로 표현한 것이다. (50개 바이너리, 251개 값)

[표 1] 몬테 카를로 시뮬레이션 결과의 통계 요약

가우스 분포

그림 3은 가우스 분포를 적용하여 LTspice로 전압 레퍼런스를 모델링한 것이다. 이 전압 소스는 공칭 1.25V이고, 허용오차는 1.5%이다. 몬테 카를로 분포를 사용해서 1.5% 허용오차 범위 이내로 251개의 전압 값을 생성한다. 그림 4는 이 251개 값을 50개 바이너리로 히스토그램 표현한 것이다. 표 2는 이 분포에 대한 통계 요약이다.

[그림 3] 3시그마 가우스 분포를 적용하여 LTspice로 모델링한 전압 소스 회로

[그림 4] 1.25V 레퍼런스에 대한 3시그마 가우스 시뮬레이션 결과를 히스토그램으로 표현한 것이다. (50개 바이너리, 251개 값)

[표 2] 가우스 시뮬레이션 결과의 통계 요약

그림 5에서 종 모양의 곡선과 확률 밀도를 보면 이 가우스 분포가 정규 분포라는 것을 알 수 있다.

[그림 5] 정상적인 3시그마 가우스 분포라는 것을 알 수 있다.

표 3은 이상적 분포와 LTspice로 시뮬레이트한 가우스 분포를 비교해서 보여준다.

[표 3] LTspice에서 251개 값으로 시뮬레이트한 가우스 분포의 통계 요약

살펴본 바와 같이 LTspice를 사용해서 전압 소스의 허용오차에 대해서 가우스 분포 또는 몬테 카를로 분포를 시뮬레이트할 수 있다. 이 전압 소스를 DC-DC 컨버터에서 레퍼런스로 사용해서 모델링할 수 있다. LTspice 가우스 분포 시뮬레이션이 예측된 확률 밀도 분포와 잘 일치하는 것을 알 수 있다.

DC-DC 컨버터 허용오차 분석

그림 6은 전압 제어 전압 소스를 사용하는 DC-DC 컨버터로 폐쇄 루프 전압 피드백을 모델링하기 위한 LTspice 시뮬레이션 회로를 보여준다. 피드백 저항 R2와 R3은 공칭 16.4kΩ과 10kΩ이다. 전압 레퍼런스는 공칭 1.25V이다. 공칭 레귤레이트 전압 VOUT은 3.3V로 설정되었다.

[그림 6] LTspice DC-DC 컨버터 시뮬레이션 회로

전압 레귤레이션 허용오차 분석을 위해서 피드백 저항 R2와 R3을 1% 허용오차로 설정하고 내부적 전압 레퍼런스를 1.5% 허용오차로 설정했다. 이 글에서는 허용오차 분석을 위한 3가지 기법을 설명한다. 몬테 카를로 분포를 적용한 통계학적 분석, 가우스 분포를 적용한 통계학적 분석, 최악 상황 분석(WCA)이 그것이다.

그림 7과 그림 8은 몬테 카를로 분포를 적용한 회로와 전압 레귤레이션 히스토그램을 보여준다.

[그림 7] 몬테 카를로 분포를 적용한 허용오차 분석 회로

[그림 8] 몬테 카를로 분포를 적용한 전압 레귤레이션 히스토그램

그림 9와 그림 10은 가우스 분포를 적용한 회로와 전압 레귤레이션 히스토그램을 보여준다.

[그림 9] 가우스 분포를 적용한 허용오차 분석 회로

[그림 10] 시뮬레이트된 가우스 분포를 적용한 허용오차 분석 히스토그램

그림 11과 그림 12는 WCA를 적용한 시뮬레이션에 대한 회로와 전압 레귤레이션 히스토그램을 보여준다.

[그림 11] WCA를 적용한 허용오차 분석 회로

[그림 12] WCA를 적용한 허용오차 분석 히스토그램

표 4와 그림 13은 허용오차 분석 결과를 비교해서 보여준다. WCA가 편차가 가장 크고, 가우스 분포를 적용한 시뮬레이션이 편차가 가장 작다는 것을 알 수 있다. 

[표 4] 전압 레귤레이션 허용오차 분석을 위한 3가지 기법의 통계 요약

[그림 13] 박스 플롯을 이용해 시각적으로 표현한 전압 레귤레이션 분포 비교

그림 13은 이것을 ‘박스 플롯(a box and whisker plot)’으로 표현한 것으로서, 상자는 1-시그마 한계를 나타내고, 막대 선은 최소 및 최대 값을 나타낸다.

맺음말

이 글에서는 간단한 DC-DC 컨버터 모델을 가지고, 2개의 피드백 저항과 내부 전압 레퍼런스의 3가지 변수를 사용해서 전압 레귤레이션을 모델링하고, 통계학적 분석을 사용해서 결과적인 전압 레귤레이션을 분석하는 것을 살펴보았다. 결과는 그래픽적으로 나타내어 최악 상황 분석과 비교해 보았다. 결과 데이터를 보면, 최악 상황 한계가 통계학적으로 실제로 발생될 가능성은 거의 없다는 것을 알 수 있다. 

leekh@seminet.co.kr
(끝)
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